在数域中介绍了模2运算，由于当今处在数字化时代，模2运算的重要性越来越明显，模2运算逐渐成为计算机，通信，编解码等学科的重要数学基础，因此在这里着重介绍一下模2运算的重要公式，方便读者在对于数字编码、数据校验等理论方面的理解和应用。这里我们用P（X）表示通用模2多项式（Polynomial），P1（X），P2（X），…..Pn（X）表示多项式的各个分支。通常P（X）的表达式为 P（X）=anX n+an-1Xn-1+……+a1X1+a0X0。为了叙述方便假设P1（X），P2（X），P3（X）为不同的多项式，后续论述中都以Pm(X)为例进行讨论。
1.多项式的运算规则
通用多项式P（X）=anX n+an-1Xn-1+……+a1X1+a0X0 ，该多项式的规定和特性解释如下：
- 多项式是由各个分项的和组成，如anX n ，an-1Xn-1，……+a1X1，a0X0等都是各个分项，
- 分项是由变量X的幂及对应系数的积组成，由X的不同次幂表示不同的分项，由幂n表示了每个分项在多项式中不同的位置。
- 多项式中的分项虽然由Xm(m为0，1，2，n）区别不同的分项，但各个分项之间没有权值的关系。
- X仅表示变量，以及用X的幂区分不同分项，Xm没有数值的含义（m为除0之外的其它值），
- X0=1，所以P （X）可以表示为 P（X）=anX n+an-1Xn-1+……+a1X1+a0 ，
- 系数an, an-1,…a0是二值数域，即an, an-1,…a0只有0或1两个值，可以表示为an, an-1,…a0∈{0，1}。
- 多项式模2运算同样满足交换律，结合律和分配律。例如：
交换律 ：P（X）=P1（X）+P2（X）=P2（X）+P1（X）
结合律 ：P（X）=（P1（X）+P2（X））+P3（X）=P1（X）+（P2（X）+P3（X））
分配律：P（X）=P1（X）*（P2（X））+P3（X））=P1（X）P2（X）+P1（X）P3（X）） （*表示乘法）
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模2加
- 模2加： 1+1=0， 1+0=1， 0+1=1，0+0=0; 逻辑运算中，可以表示为 a=（b XOR c） , 其中a , b , c都是二值域，即只有0，1两个值。在后续论述中以^表示异或，a=b ^ c。
- 。
- 多项式的模2加运算应遵循如下规则：
- 多项式的运算是在各个分项中展开运算，只有幂相等的对应的分项才能进行模2加运算。
- 由于Xm没有权值的的含义，因此模2运算并不存在进位运算。
- 在幂值相等的项运算时，计算有如下规则，
Xm +X m=0 , Xm + 0 X m = X m , 0 Xm + X m = X m ,
例1：假设P1（X）=a3X3+a2X2+a1X1+a0, P2(X)=b3X3+b2X2+b1X1+b0, 其中腌a3, a2, a1∈{0，1}, b3, b2, b1∈{0，1}。求P（X）=P1（X）+P2(X)的结果。
解： P（X）=P1(X)+P2(X) =a3X3+a2X2+a1X1+a0+b3X3+b2X2+b1X1+b0
= ( a3+b3)X3+(a2+b2)X2+(a1+b1)X1+(a0+b0)
= ( a3^b3)X3+(a2^b2)X2+(a1^b1)X1+(a0^b0)
例2： 如果例1中，a3, a2, a1 , a0分别为 1,1,1,1 ; b3, 22,b1 , b0分别为 0,1,0,1, 计算P（X）的最终结果
由于系数有了确定的值，P1（X）=X3+X2+X1+1 , P2(X)=X2+1因此P(X)= ( 1+0)X3+(1+1)X2+(1+0)X1+(1+1) = X3+X1
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模2减
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- 模2减： 1-1=0， 1-0=1， 0-1=1，0-0=0; 逻辑运算中，可以表示为 a=（b XOR c） , 其中a , b , c都是二值域，即只有0，1两个值。在后续论述中以^表示异或，a=b ^ c。可见模2减在数值计算中与模2加的结果完全相同。
- 多项式的模2减运算应遵循如下规则：
- 多项式的运算是在各个分项中展开运算，只有幂相等的对应的分项才能进行模2减运算。
- 由于Xm没有权值的的含义，因此模2运算并不存在借位运算。
- 在幂值相等的项运算时，计算有如下规则，
Xm -X m=0 , Xm -0 X m=X m , 0 Xm – X m= -X m = X m。
例1：假设P1（X）=a3X3+a2X2+a1X1+a0, P2(X)=b3X3+b2X2+b1X1+b0, 其中腌a3, a2, a1∈{0，1}, b3, b2, b1∈{0，1}。求P（X）=P1（X）-P2(X)的结果。
解： P（X）=P1（X）-P2(X) =a3X3+a2X2+a1X1+a0-（b3X3+b2X2+b1X1+b0）
= ( a3-b3)X3+(a2-b2)X2+(a1-b1)X1+(a0-b0)
= ( a3^b3)X3+(a2^b2)X2+(a1^b1)X1+(a0^b0)
例2： 如果例1中，a3, a2, a1 , a0分别为 1,1,1,1 ; b3, 22,b1 , b0分别为 0,1,0,1, 计算P（X）的最终结果
由于系数有了确定的值，P1（X）=X3+X2+X1+1 , P2(X)=X2+X1 因此P(X)= ( 1-0)X3+(1-1)X2+(1-0)X1+(1-1) = X3+X1
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模2乘法
针对多项式的模2乘法，有如下规则：
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- 不同项幂次项之间可以相乘，相乘结果使X的幂相加，系数相乘（相与），如 X2 * X1= X3
- 两个多项式乘法的展开式与普通多项式展开算法相同，如(X+1)2=（X+1）*(X+1)=X *X+ X + X + 1=X2 +1 (X+X=0 见模2加法多项式运算规则）
例3：计算P（X）=（X+1）3
P（X）=（X+1）3=（X+1）*（X+1）2=（X+1）*(X2 +1)=X3+X +X2+1=X3+X2+X +1
- 模2乘公式总计如下：
- （X+1）2 = X2 +1
- （X+1）3 = X3 + X2 + X + 1
- （X+1）n= Xn+1 n为偶数
- （X+1）n= Xn+Xn-1+Xn-2+…..+ X+1 n为奇数
- 因式分解
- 充分利用 Xm+Xm=0的特点，在多项式中添加因子实现因式分解
例4 ： 利用因式分解求解P（X）=X5+1的整除多项式
解： P（X）=X5+1=X5+X4+X4+X3+X3+X2+X2+X+X+1
=X4(X+1)+X3(X+1)+X2(X+1)+X(X+1)+（X+1）
=(X+1)(X4+X3+X2+X+1)
所以多项式P（X）=X5+1可以被多项式X+1或多项式(X4+X3+X2+X+1)整除。
例5，利用添加因子和因式分解求模2除X5+1/(X4+X3+X2+1)的余数 即（100001）/（11101）的余数
解： X5+1=(X+1)(X4+X3+X2+X+1)
(X4+X3+X2+1)=(X+1)4+X2(X+1)=(X+1)(X3+X2+X+1+X2)=(X+1)(X3+X+1)
所以X5+1/(X4+X3+X2+1)=(X4+X3+X2+X+1)/(X3+X+1)的余数
(X4+X3+X2+X+1)/(X3+X+1)=((X4+X2+X)+(X3+1))/(X3+X+1)
由于(X4+X2+X)能被(X3+X+1)整除，可以丢弃，因此只要求取(X3+1)/(X3+X+1)的余数就可以了，
而(X3+1)/(X3+X+1)的余数为X，因此根据X4+X3+X2+1最高次幂为4，的余数为0010.
熟练使用各种技巧比长除法竖式计算简单很多。可见因式分解以及因子组合对模2除的化简有很大的帮助。
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模2除法
模2除常用的方法有两种：（1）因式分解以及因子组合，如例5，（2）竖式长除法，如上节除法中使用竖式的方法。
模2运算是数字编解码的基础，因此各种运算技巧应数量掌握。
谢谢老师的这篇文章，很有趣，文章思路层层递进，一环扣一环，真的很棒，像我这样数学不好的学生都能看懂领会，真心为老师点赞！