数域的概念

数域是指数的集合，是近代数学研究的一个重要分支。特别是在数字信号处理，编解码运算中的理论研究和实际工程应用中得到广泛的应用。的数域不仅定义数的集合，还定义了数的运算规则。一般情况下规定了加、减、乘、除四则运算。下文就数域的定义、分类、运算规则及应用等内容进行描述。

1. 数域

数域是由数组成的集合，并在该集合上定义了一套运算规则，如加、减、乘、除（除数不为0）等。常见的有二进制数域，十进制数域等。其中在十进制术语中又有整数域、有理数域、无理，数域、实数域、复数域等。数域一般用F表示。可以用枚举方式表示，如二进制数域可以写成F[0 ,1]，十进制数域可以写成F[0,1,2,3,4,5,6,8,9]等。也可以用描述的方式表示，如实数域F_R={X/XϵR}，一般到数域的元素较多或无穷多而无法用枚举的方式表达时，都用描述的方法表示。

2. 数域运算规则

不同的数域可以定义不同的运算规则，如实数域可以定义加、减、乘、除（除数不为零），开方、求导、积分等运算。一般数域的运算规则至少包含加、减、乘、除（除数不为零）四则运算。

• 封闭数域

如果F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F中的数，则称F为一个封闭数域或闭合数域，简称数域。不是任何定义的数域都是闭合数域，如整数就不是闭合数域，因为两个整数相除可能得到小数值（如3/5）。无理数集合也不是封闭数域，因为两个无理数的运算可能是有理数（如-=0）。在本文及后续文章讨论的数域都是指封闭数域。但有理数、实数等都是闭合数域。

3. 数域的性质

满足四则运算的闭合域，应有下列属性。

• 在定义的数域中可以实现加、减、乘、除（除数不为0）四则运算；
• 0，1元素，数域中包含元素0和元素1;
• 逆元素（反元素），如元素a,则-a，1/a也应该包含在数域中。即应该满足a + (-a) = 0,  a *（1/a) = 1;
• 满足加法和乘法运算的交换律，如a + b = b + a， a * b = b * a等。
• 满足加法和乘法运算的结合律，如 (a + b) + c = a + (b + c)；
• 满足加法和乘法运算的分配律，如a(b + c) = ab + ac;
• 如果减法和除法用逆元素表示，也满足交换律、结合律以及分配律。

4. 矢量数域及矢量运算

数域可以可以有标量数域和适量数域两种，没有特殊说明一般是指标量，即数域内的元素。数域也可以按照一定的顺序组成有序数域，并在有序数域上进行运算。根据有序数的个数可以确定维数，矢量不仅有量的大小还有方向。如在实数空间内的2维序列，可以在2维空间内实现适量的加减运算，而在3维域内还能适量实现乘法运算等。由这些有序域可以映射到矢量空间上。如二维元素生成矢量可以与平面内点一一对应，也可以用平面的有向失线（有方向的线段）表示，在平面坐标内如图1所示。

图1

用矢量表达含有权值的数据，如10进制978可以表示为 978 = 9*10² + 7*10¹ + 8*10⁰, 可以用矢量表示为 a = [9，7，8]。可以在此基础上定义带有权值数据的运算。

• 加减运算

  • 带进位（借位）的加减法

带进位位加，上式如果定义进位位加，应实现加法时低位产生的进位向高位进位，

如：

a + b = [9，7，8] + [3，2，4] = [1，3，0，2]

a – b = [9，7，8] + [3，2，4] = [6，5，4]

b – a = [3，2，4] – [9，7，8] = -[3，4，6]

对于一般进制的数据可以用X的幂次方代表权值，生成一个表达式的形式，如向量a = [9，7，8]，b = [3，2，4]可以表达为

a = 9*X² + 7*X¹ + 8*X⁰= 9X² + 7X¹ + 8

b = 3X² + 2X¹ + 4X⁰= 3X² + 2X¹ + 4

a + b = 9X² + 7X¹ + 8 + 3X² + 2X¹ + 4

如果X表示10进制的权值，计算结果如下

= 12*10² + 9*10¹ + 12

= 10*10² + 2*10² + 9*10¹ + 10 + 2

= 10*10² + 2*10² + 10*10¹ + 2

= 10*10² + 2*10² + 1*10² + 2

= 1*10³ + 3*10²  + 2

= 1*X³ + 3*X²  + 0*X¹  + 2*X⁰  

其中X幂次方可能为二进制，8进制，10进制，16进制等的权值，如果定义含进位的计算方式，则

• • 2进制的权值为2幂次方，   逢2进1
  • 8进制的权值为8幂次方，   逢8进1
  • 10进制的权值为10幂次方，逢10进1
  • 16进制的权值为16幂次方，逢16进1

带借位的减法与加法类似，向高位借位时，每借一位都相当于对应基数大小。

• 不带进位（借位）的加减法

在不带进位（借位）的加、减法中X的幂并不表示具体的权值，仅代表相应的序号，因此没有进位或借位的运算，仅是对应的权值的数相加或减，进位（借位）位直接丢弃，这种运算称为模运算（模2运算，模8运算，模10运算等），如

a + b = [9，7，8] + [3，2，4] = [2，9，2]

不带借位的加法，当有借位时，借位位丢弃，如13 – 9 = [1，3] – [0，9] = 14

a – b = [9，7，8] – [3，2，4] = [6，5，4]

a – b = 9X² + 7X¹ + 8 – 3X² – 2X¹ – 4 = 6X² + 5X¹ + 4

b – a = [3，2，4] – [9，7，8] = [4，5，6]

b – a = 3X² + 2X¹ + 4 – 9X² – 7X¹ – 8 = 4X² + 5X¹ + 6

 

不带进位位的减法也可以用负数补码相加的方法实现。对于10进制数补码的计算方法如下：设n为0-9的十进制数，+n的补码为n, -n 的补码为10-n。如-1的补码为9，-2的补码为8等。使用补码可以将不带进位（借位）位的加、减法统一都使用加法实现。

例如，假设m,n为0-9的十进制数 m – n = m + (10 – n)

不带借位的减法也一样，仅对应相同权值的数参与运算，不向高位借位

如:b – a = 4X² + 5X¹ + 6

不带借位的加减法一般用在2进制的数域中定义的模2运算中。详细内容请参见2进制模2数域及计算。

矢量乘法

矢量乘法包含点乘和叉乘两种。点乘用.表示，叉乘用x表示。

点乘.表示矢量中对应的元素相乘相加，结果为标量。如，

1. b = [9，7，8].[3，2，4] = 27 + 14 + 32 = 73，

这种运算可以扩展到多矢量矩阵运算。

叉乘x可以用如下步骤计算

1. 表示矢量b中的每一个带权值的元素与矢量a相乘相加，如，

a * b = (9X² + 7X¹ + 8X⁰ ) * 3X² + (9X² + 7*X¹ + 8) * 2X¹ + (9X² + 7*X¹ + 8) * 4X⁰

1. 再将（1）式的多项式每项a中的元素与对应的元素相乘，如

a * b = (9X² + 7X¹ + 8X⁰ ) * 3X² + (9X² + 7*X¹ + 8) * 2X¹ + (9X² + 7*X¹ + 8) * 4X⁰

= 27X⁴ + 21X³ + 24X² + 18X³ + 14X² + 16X² + 36X² + 28X¹ + 32X⁰

= 27X⁴ + 39X³ + 64X² + 28X¹ + 32X⁰

1. 按有进位位方式计算，低位向高位进位，如

a * b = 27X⁴ + 39X³ + 64X² + 28X¹ + 32X⁰ = 3X⁵ + X⁴ + 5X³ + 7X² + X¹ + 2X⁰

1. 按无进位位的方式计算，直接丢弃进位位

a * b = 7X⁴ + 9X³ + 4X² + 8X¹ + 2X⁰

总结：上文介绍了数域的概念，数域的属性，数域的计算以及由带有权值形成的向量在数域上的计算，虽然上文中数域的计算所用的例子都是在10进制的数域进行的，但根据数域的定义，在其它进制（如2进制，8进制，16进制）定义的数域同样适用。